שם המשפחה אַזֶנקוט הוא שם יהודי-מרוקאי שמקורו ככל הנראה בשפה הברברית, ופירושו "איילה". לפי אחת הסברות, השם קשור לשבט ברברי באזור אקה איזנקאד שבדרום-מערב מרוקו, שהעניק חסות ליהודים באזור; סברה אחרת, שמקורו באירופה (מיידיש: אייזן = ברזל), נחשבת לפחות סבירה.

התיעוד הראשון של השם הוא מהמאה ה-17, בדמותו של רבי סעדיה אזנקוט ממרקש, שנדד להולנד ושימש מורה לתאולוג השווייצרי יוהאן היינריך הוטינגר; כמו כן ידוע רבי שלמה אוזנקוט שהיה דיין וראש ישיבה במרקש.

השם עבר שינויים בהגייה, ולעיתים נכתב "איזנקוט" – כמו במקרה של הרמטכ"ל לשעבר גדי איזנקוט – בשל השפעה צרפתית מתקופת הכיבוש הקולוניאלי או כתיב שגוי בעלייה לארץ ישראל. שם זה ממשיך לעורר עניין ציבורי, במיוחד בשל היותו נפוץ בקרב יוצאי מרוקו, והדיון עליו הופיע גם בכלי תקשורת בישראל.