יחידה חוזרת

יחידה חוזרת

יחידה חוזרת (Repunit) היא מספר טבעי שכל ספרותיו הן 1, כמו 1, 11 או 111, ומוגדרת בבסיס ספירה (b) כסכום של טור הנדסי. במקרה המיוחד של הבסיס הבינארי, יחידות אלו זהות למספרי מרסן ((2^n - 1)), והראשוניים שבהם משמשים לבניית מספרים משוכללים והם המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים כיום. תכונה חשובה היא שאם (n) מתחלק ב-(m), אז (R_n) מתחלק ב-(R_m), ולכן יחידה חוזרת יכולה להיות ראשונית רק אם מספר הספרות שלה ראשוני, אך ההפך אינו תמיד נכון (למשל, (R_3 = 111 = 3 \times 37)). היחידות החוזרות הראשוניות הראשונות בבסיס עשרוני הן (R_2, R_{19}, R_{23}, R_{317}) ו-(R_{1031}), ונכון לשנת 2010 הגדולה שבהן שנחשדה כראשונית היא (R_{270343}). למרות שמשערים שיש אינסוף יחידות חוזרות ראשוניות בבסיסים כמו עשרוני ובינארי, ידועים בסיסים שבהם יש רק מספר סופי, למשל בבסיסים 4, 8 ו-9. לבסוף, השערת גורמאגטיג קובעת כי המספרים היחידים שהם יחידות חוזרות עם יותר משלוש ספרות בשני בסיסים שונים הם 31 (בבסיס 2 ו-5) ו-8191 (בבסיס 2 ו-90).